5.2.1.Решен облик на линеарна неравенка со една непозната

Ова поглавје ќе го започнеме со прилично краток опис на основните терминологии кои ќе ги  користиме доста често при решавањето на неравенките.

Како прво да дефинираме линеарна неравенка. Нека А и В се два алгебарски изрази само со една променлива. Ако тие се сврзат со еден од знаците за неравенство <,⩽,> или ⩾, на пример А<В се добива неравенство со една променлива што се вика неравенка со една непозната.

Ако за некоја вредност на непознатата преминува во точно бројно неравенство, тогаш за таа вредност се вели дека е решение на неравенката.

Ако два алгебарски изрази А и В (кои се со по една променлива) се сврзат со еден од знаците за неравенство <,≤, > или ≥ (пример: А < В), тогаш се добива предикат со една променлива што се вика неравенка со една непозната.

Неравенките А < В и С < D се еквивалентни ако множеството решенија е еднакво со множеството решенија на другата неравенка, т.е

A < B <=> C < D

Својства на неравенките
– A < B <=> B > A
– А < B <=> A + C < B + C – C > 0 => (A < B <=> AC < BC)
– C < 0 => (A < B <=> AC > BC)

Секоја неравенка која може да се доведе во обликот ах < b, каде што а и b се реални броеви, се вика линеарна неравевка со една непозната.

5.2.3.Систем линеарни неравенки со една непозната и вкупност линеарни неравенки со една непозната

Понекогаш може да се сретнете со системи на неравенки како што се овие:

     Решете го системот неравенки 2x> -10 И 9x <18

или вака

     Решете го системот неравенки 2x> 10 ИЛИ 9х <-18.

Таквите системи можат да вклучуваат две или повеќе неравенки поврзани со зборовите И и/или ИЛИ.

За да го решите ваквиот систем, потребно е да ја решите секоја неравенка посебно (да ја доведете до решен облик) а потоа да го пронајдете пресекот на множествата на решенијата (ако сврзниот збор е И) ИЛИ УНИЈА на множеството решенија (ако сврзниот збор е ИЛИ).

Задача 1

Реши го системот неравенки 2x> -10 И 9x <18.
Решение:
За да се реши првата неравенка, двете страни на неравенката ги делиме  сo 2 и добиваме x> -5.
За да сe реши втората неравенка, двете страни на неравенката ги делиме со 9 и добиваме x <2.
Забележете дека сврзниот збор што ги поврзува дадените неравенки во системот е "И".
     Тоа значи дека решението за системот е пресек на парцијалните решенија.
Одговор:

1. Решен облик на неравенката е множеството -5 <x <2
2. Графички приказ на решението на бројна права
3. Во интервалска форма, решението е (-5,2).

Задача 2

Решете го системот на неравенки 2x> 10 ИЛИ 9х <-18.

Решение

За да се реши првата неравенка, двете страни на неравенката ги делиме сo 2 и добиваме  x> 5.
За да се реши втората неравенка, двете страни на неравенката ги делиме сo 9 и добиваме  x <-3.
Забележете дека сврзниот збор што ги поврзува дадените неравенки во системот е „ИЛИ“.
     Тоа значи дека решението за системот е УНИЈАТА од парцијалните (делумните) решенија.
Одговор:

1. Решението е множеството x <-3 и / или x> 5.
2. Графички приказ на решението на бројна права
3. Во интервалска форма, ова решение е (-∞, -3) U (5,∞).

Задача 3

Решете ја неравенката  |2x + 4| <16.

Решение

-16 <2x + 4 <16.

Ако одземеме 4 на сите 3 дела на оваа комплексна неравенка ќе добиеме еквивалентна сложена неравенка:

-20 <2x <12.

Ако сега ги поделме на 2 сите 3 дела на последната сложена неравенка ќе  добиеме еквивалентна сложена неравенка

-10 <x <6

Тоа е одговорот:

1. Решен облик на неравенката е множеството -10 <x <6.
2. Графички приказ на решението на бројна права
   
3. Во интервалска форма, решението е (-10,6).

Задача 3

Задачи за домашна работа:

5.2.2.Еквивалентни облици на решението (решен облик, графички приказ на бројна права и интервал)

Графикот на линеарна неравенка со една непозната е бројна линија. Ги употребуваме термините отворен интервал кога се употребени знаците < и > и тогаш за множеството решенија употребуваме "( )" и затворен интервал кога се употребени знаците ≤ и ≥ и тогаш за множеството решенија ги употребуваме "[ ]".
Кај решенијата на неравенките ќе разликуваме:

1. Решен облик на неравенката
2. Графички приказ на решението на бројна права и
3. Решение прикажано со интервал

Во продолжение ќе дадеме примери на решени линеарни неравенки.

1. Графикот на неравенката x > -3 е:

а множеството решенија е: x∈(-3;∞)

2. Графикот на неравенката x ≥2 е: 

а множеството решенија е: x∈[2;∞)

3. Графикот на неравенката x <1 е: 

 а множеството решенија е: x∈(-∞;1)

4. Графикот на неравенката x ≤-4 е: 

а множеството решенија е: x∈(-∞;-4]

Неравенките кои имаат еднакво множество решенија се нарекуваат еквивалентни. Како што постојат својства кај равенките, така постојат и својства кај неравенките. Во продолжение ќе бидат дадени својствата на неравенките:

Ако на двете страни од неравенката додадеме еден ист број, добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y, тогаш x+z>y+z

Ако x≥y, тогаш x+z≥y+z

Ако x<y.тогаш x+z<y+z

Ако x≤y.тогаш x+z≤y+z

Ако на двете страни од неравенката одземеме еден ист број, добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y, тогаш x-z>y-z

Ако x≥y, тогаш x-z≥y-z

Ако x<y.тогаш x-z<y-z

Ако x≤y.тогаш x-z≤y-z

Ако двете страни на неравенката ги помножиме со еден ист позитивен број добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y и z>0, тогаш xz>yz

Ако x≥y и z>0, тогаш xz≥yz

Ако x<y и z>0.тогаш xz<yz

Ако x≤y и z>0.тогаш xz≤yz

Ако двете страни на неравенката ги помножиме со еден ист негативен број не добиваме еквивалентна неравенка на дадената, освен ако не го промениме знакот во неравенство во спротивниот.

Ако x>y и z<0, тогаш xz<yz

Ако x≥y и z<0, тогаш xz≤yz

Ако x<y и z<0.тогаш xz>yz 

Ако x≤y и z<0.тогаш xz≥yz

Ако двете страни на неравенката ги поделиме со еден ист позитивен број добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y и z>0, тогаш x/z>y/z

Ако x≥y и z>0, тогаш x/z≥y/z

Ако x<y и z>0.тогаш x/z<y/z

Ако x≤y и z>0.тогаш x/z≤y/z

Ако двете страни на неравенката ги поделиме со еден ист негативен број не добиваме еквивалентна неравенка на дадената, освен ако не го промениме знакот во неравенство во спротивниот.

Ако x>y и z<0, тогаш x/z<y/z

Ако x≥y и z<0, тогаш x/z≤y/z

Ако x<y и z<0.тогаш x/z>y/z 

Ако x≤y и z<0.тогаш x/z≥y/z

Реши ги линеарните неравенки:

1. 3𝑥 + 2 > 2𝑥 − 7
2. 𝑥 − 5 > 3𝑥 + 7 
3. 4𝑥 + 9 < −2𝑥 + 11 
4. 1.4𝑥 − 10.7 < 2.8 + 0.5𝑥 
5. 𝑥 − (2 − 𝑥) < 3𝑥 + 7 
6. 3 − 2(𝑥 − 1) ≥ 2𝑥 − 3(𝑥 + 2) 
7. 0,4x −12 < 0 
8. 5(x −1) + 7 ≥1− 3(2 − x) 
9. ( y + 2)( y + 5) − ( y − 5)( y +1) ≤ 3(4y − 3)

5.1.4.Составување и решавање на линеарни равенки

Процес на решавање линеарна равенка

1. Ако равенката има дропка т.е. содржи  броеви за именители, искористете го најмалиот заеднички именител за да се ослободите од овие именители. Ние тоа ќе го сториме со множење на двете страни на равенката со НЗС(именителите).
2. Исто така, ако дропката има променливи во именителите ги идентификуваме вредностите на променливата кои ќе дадат делење со нула на дропката, бидејќи е потребно да ги изоставиме овие вредности во нашето решение
3. Поедноставете ги двете страни на равенката. Ова значи да се ослободиме од заградите и да ги комбинираме како изрази.
4. Користејќи ги својствата за еквивалентни равенки направете сите изрази со променлива да бидат на една (обично левата) страна  на равенката (комбинирајќи ги во еден израз се разбира) и сите константи од другата (обично десната) страна  на равенката.
5. Значи ќе ја добиеме равенката во стандардна форма (ax=b).
6. Важно е да забележиме дека во вака добиената равенка ги делиме двете страни на равенката со коефициентот пред променливата, ако тоа е цел број или ги множиме двете страни на равенката со реципрочната  вредност на коефициентот ако тоа е дропка.
7. ВЕРИФИКАЦИЈА НА ВАШИОТ ОДГОВОР! Ова е последниот чекор и најчесто прескокнат чекор, но сепак ова е веројатно и најважниот чекор во процесот. Со овој чекор можете да знаете дали го имате точниот одговор долго пред вашиот наставник некогаш да го погледне тоа. Го потврдуваме одговорот со внесување на резултатите од претходните чекори во првобитната равенка. Многу е важно резултатите да ги внесете во првобитната равенка бидејќи можеби сте направиле грешка во првиот чекор и тоа ве донело до неточен одговор.
8. Исто така, ако имало дропки во проблемот и имало вредности на променливата што даваат делење со нула (потсетете се на вториот чекор ...), важно е да бидете сигурни дека една од овие вредности не завршила во пресметаното решение. Бидејќи можно е, некои од  овие вредности да бидат решение на равенката.

Пример 1

Реши ја равенката:

3(x+5)=2(−6−x)−2x

Решение:

Равенката нема дропки, затоа првите два чекора од процесот ги прескокнуваме, одиме на третиот чекор и добиваме:

3х+15=−12−2x−2x

Сега сите изрази кои имаат х да се најдат на левата страна на равеката (ако не се наоѓаат таму, ги носиме таму но со спротивен знак), а сите константи сакаме да се најдат на десната страна на равенката (ако не се наоѓаат таму, ги носиме таму но со спротивен знак)

3х+2x+2x=−12−15

7х=−27 /:(7)

х=−(27/7)

Проверка: Ако во првобитната равенка замениме х=−(27/7) добиваме:

Пример 2

Реши ја равенката:

Решение:

Равенката има дропки, затоа почнуваме од првиот чекор од процесот. Бараме НЗС(3,7) и добиваме НЗС(3,7)=21.

Во именителите нема променливи затоа го прескокнуваме вториот чекор. Одиме на третиот чекор од процесот, значи да се ослободиме од заградите.

Проверка: Ако во првобитната равенка замениме m=−7 добиваме:

Пример 3

Реши ја равенката:

Решение:
Најпрвин ги разложуваме именителите на дропките на множители

Равенката има дропки и тоа дропки со променливи во именителирте, затоа почнуваме од првиот чекора од процесот. Бараме НЗС(2(y-3),(y-3)(y-3)) и добиваме

НЗС(2(y-3),(y-3)(y-3))=(2(y-3)(y-3)) Да забележиме дека равенката не смее да има решение y=3 бидејќи за таа вредност имаме делење со нула.

Проверка: Ако во првобитната равенка замениме y=5 добиваме:

Пример 4

Реши ја равенката:

Решение:

Равенката има дропки и тоа дропки со променливи во именителирте, затоа почнуваме од првиот чекора од процесот. Бараме НЗС(z+3,z-10) и добиваме НЗС(z+3,z-10)=(z+3)(z-10) . Веднаш да забележиме дека равенката не смее да има решенија z=-3 и z=10 бидејќи за овие вредности имаме делење со нула.

Потребно е да согледаме дека добивме степен 2 на променливата z, но и гледаме дека ова може да се скрати, бидејќи имаат исти знаци а се наоѓаат од спротивни страни на равенката.

Проверка: Ако во првобитната равенка замениме z=17/3 добиваме:

За домашна работа:

5.1.3. Равенки со апсолутна вредност кои се сведуваат на линеарни равенки со една непозната

Во овој дел ќе ги разгледуваме линеарните равенки кои содржат апсолутни вредности. Сепак, пред да почнеме со решавање на овој вид равенки, прво да се потсетиме што е апсолутна вредност. Ознаката за апсолутна вредност на број е |a| . Важно е да кажеме дека цртичките за апсолутна вредност НЕ се загради и со нив не се однесувајте како со загради, затоа бидете внимателни со нив.

Постојат два начина да се дефинира апсолутна вредност. Постои геометриска дефиниција и математичка дефиниција. Ние ќе ги разгледаме и двете дифиниции:

Геометриска дефиниција

Во оваа дефиниција ние ќе размислуваме за |а| како за растојанието од а од почетокот на бројната оска. Затоа, секогаш ќе користиме позитивна вредност за растојание. Разгледајте ја следнава бројна оска.

Од ова можеме да ги добиеме следниве вредности на апсолутна вредност.

|2|=2                       |-3|=3                          |9/2|=9/2

Значи сè што треба да направиме е да ја идентификуваме точката на бројот на бројната оска и да го одредиме нејзиното растојание до нулата. Исто така потребно е да се знае дека:

|0|=0

Математичка дефиниција

|2x|={2x,  ако  2x⩾02x,  ако  2x⩾0

Можеме да дадеме и строга математичка / формула дефиниција за апсолутна вредност. Таа е:

|а|={ а ако а ≥0 

       -а ако а <0

Ова ни кажува дека е потребно само да го разгледаме знакот на а и ако е позитивен, тогаш само го изоставуваме знакот за апсолутна вредност. Ако пак знакот на а е негативен, тогаш го испуштаме знакот за апсолутна вредност, а потоа додаваме минус пред бројот.

Пример 1: Да се реши равенката

|2x|=1

Решение:

|2x|={2x,  ако  2x⩾0−2x, ако  2x<0⇔|2x|={2x,  ако  x⩾0−2x, ако  x<02x=1∩x⩾0 или −2x=1∩x<0x=12∩x⩾0 или x=−12∩x<0

Конечното решение:

x=±12

Пример 2: Да се реши равенката:

|2x-5|=9

Решение:

Во овој случај навистина нема што многу да се прави, само ја применуваме формулата, и добиваме дека:

2х-5=9   или 2х-5=-9

значи добивме две линеарни равенки со една непозната, ги решаваме одвоено:

2х=9+5   или 2х=-9+5

2х=14   или 2х=-4

х=7   или х=-2

Значи добиваме две решенија за равенката едното е х=7   а второто е  х=-2

Пример 3: Да се реши равенката:

|1-3t|=20

Решение:
Исто како претходната равенка, равенката со апсолутна вредност ја трансформираме во две линеарни равенки и ги решаваме одвоено:

1-3t=20 или 1-3t=-20

-3t=20-1 или -3t=-20-1

-3t=19 или -3t=-21      /двете равенки ги множам со /(-1)

3t=-19 или 3t=21

t=19/3или t=7

Значи добиваме две решенија за равенката едното е t=19/3 а второто t=7

Пример 4: Да се реши равенката:

|5x-10|=0

Решение:
На овој проблем ќе пристапиме од геометриска гледна точка. Апсолутната вредност претставува растојание од нулата до бројот. Има само еден број кој го има тоа својство и тој е нула единствен. Значи, мора да имаме:

5х-10=0 ⇒ 5х=10 ⇒ х=2

Значи задачата има единствено решение: х=2

Пример 5: Да се реши равенката:
|x-2|=3x+8

Решение:

Разгледуваме два случаи: 

Првиот е, кога земаме дека:  x-2≥0 
односно 2≤x ⋀ x<∞ така гледано ја добиваме равенката:

 -3x+(x-2)=8

-3x+x-2=8

x-3х=2+8

-2х=10

х=-5

Вториот е, кога земаме дека:  x-2<0

односно  -∞<x ⋀x<2 така гледано ја добиваме равенката:

 -3x-(x-2)=8

 -x+2-3x=8

 -x-3х=8-2

 -4х=6

 х=(-3/2)

Значи добиваме две решенија за равенката едното е х=-5 (кое не е решение на равенката, бидејќи не припаѓа на интервалот [2;∞) ), а второто е х=-3/2 кое е решение на равенката.

Пример 5: Да се реши равенката:

|2х-1|=|4х+9|

Решение:
Овој случај изгледа многу поразлично од кој било од претходните проблеми што ги работевме и во ваквиот случај формулата што ја користевме воопшто не работи. Меѓутоа, ако малку размислиме за ова, можеме да видиме дека сè уште можеме да  сториме нешто слично за да добиеме решение.
Двете страни на равенката содржат апсолутни вредности и така единствениот начин како двете страни се еднакви ќе биде ако двете вредности во знакот на апсолутна вредност се еднакви или еднакви, но со спротивни знаци. Или со други зборови, ги добиваме следниве случаи:

1. 2x-1≥0 и 4x+9≥0

 Добиваме дефинициона област: [1/2;∞) и потребно е да ја решиме равенката:

2х-1=4х+9

2х-4х=1+9

-2х=10

х=-5 

но решението не припаѓа на дефиниционата област, значи не е решение на равенката

2. 2x-1<0 и 4x+9≥0

 Добиваме дефинициона област: [-9/4;1/2) и потребно е да ја решиме равенката:

-(2х-1)=4х+9

-2x-4x=9-1

-6x=8

x=-(8/6)

 x=-(4/3)

Ова решение припаѓа на дефиниционата област, значи е решение на равенката

3. 2x-1≥0 и 4x+9<0

Овде дефиниционата област е празно множество:

4. 2x-1<0 и 4x+9<0

 Добиваме дефинициона област: (-∞;-9/4)

-(2х-1)=-(4х+9)

-2x+1=-4x-9

-2x+4x=-9-1

2x=-10

x=-5

Ова решение припаѓа на дефиниционата област, значи е решение на равенката.

Значи добиваме две решенија за равенката едното е х=-(4/3) а второто е  х=-5
Задачи за домашна работа:

1. a. |4x+2|=8
    б. |3x-5|=10
    в. |2x+6|=18

2. a. |3x+2|=8х
    б. |2x-7|=10х+1
    в. |x+6|=4х+6

3. a. |2x+3|=|8х-2|

    б. |2x-6|=|4х+1|
    в. |4x+2|=|3х+4|