5.2.2.Еквивалентни облици на решението (решен облик, графички приказ на бројна права и интервал)

Графикот на линеарна неравенка со една непозната е бројна линија. Ги употребуваме термините отворен интервал кога се употребени знаците < и > и тогаш за множеството решенија употребуваме "( )" и затворен интервал кога се употребени знаците ≤ и ≥ и тогаш за множеството решенија ги употребуваме "[ ]".
Кај решенијата на неравенките ќе разликуваме:

1. Решен облик на неравенката
2. Графички приказ на решението на бројна права и
3. Решение прикажано со интервал

Во продолжение ќе дадеме примери на решени линеарни неравенки.

1. Графикот на неравенката x > -3 е:

а множеството решенија е: x∈(-3;∞)

2. Графикот на неравенката x ≥2 е: 

а множеството решенија е: x∈[2;∞)

3. Графикот на неравенката x <1 е: 

 а множеството решенија е: x∈(-∞;1)

4. Графикот на неравенката x ≤-4 е: 

а множеството решенија е: x∈(-∞;-4]

Неравенките кои имаат еднакво множество решенија се нарекуваат еквивалентни. Како што постојат својства кај равенките, така постојат и својства кај неравенките. Во продолжение ќе бидат дадени својствата на неравенките:

Ако на двете страни од неравенката додадеме еден ист број, добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y, тогаш x+z>y+z

Ако x≥y, тогаш x+z≥y+z

Ако x<y.тогаш x+z<y+z

Ако x≤y.тогаш x+z≤y+z

Ако на двете страни од неравенката одземеме еден ист број, добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y, тогаш x-z>y-z

Ако x≥y, тогаш x-z≥y-z

Ако x<y.тогаш x-z<y-z

Ако x≤y.тогаш x-z≤y-z

Ако двете страни на неравенката ги помножиме со еден ист позитивен број добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y и z>0, тогаш xz>yz

Ако x≥y и z>0, тогаш xz≥yz

Ако x<y и z>0.тогаш xz<yz

Ако x≤y и z>0.тогаш xz≤yz

Ако двете страни на неравенката ги помножиме со еден ист негативен број не добиваме еквивалентна неравенка на дадената, освен ако не го промениме знакот во неравенство во спротивниот.

Ако x>y и z<0, тогаш xz<yz

Ако x≥y и z<0, тогаш xz≤yz

Ако x<y и z<0.тогаш xz>yz 

Ако x≤y и z<0.тогаш xz≥yz

Ако двете страни на неравенката ги поделиме со еден ист позитивен број добиваме еквивалентна неравенка на дадената.

Ако x>y и z>0, тогаш x/z>y/z

Ако x≥y и z>0, тогаш x/z≥y/z

Ако x<y и z>0.тогаш x/z<y/z

Ако x≤y и z>0.тогаш x/z≤y/z

Ако двете страни на неравенката ги поделиме со еден ист негативен број не добиваме еквивалентна неравенка на дадената, освен ако не го промениме знакот во неравенство во спротивниот.

Ако x>y и z<0, тогаш x/z<y/z

Ако x≥y и z<0, тогаш x/z≤y/z

Ако x<y и z<0.тогаш x/z>y/z 

Ако x≤y и z<0.тогаш x/z≥y/z

Реши ги линеарните неравенки:

1. 3𝑥 + 2 > 2𝑥 − 7
2. 𝑥 − 5 > 3𝑥 + 7 
3. 4𝑥 + 9 < −2𝑥 + 11 
4. 1.4𝑥 − 10.7 < 2.8 + 0.5𝑥 
5. 𝑥 − (2 − 𝑥) < 3𝑥 + 7 
6. 3 − 2(𝑥 − 1) ≥ 2𝑥 − 3(𝑥 + 2) 
7. 0,4x −12 < 0 
8. 5(x −1) + 7 ≥1− 3(2 − x) 
9. ( y + 2)( y + 5) − ( y − 5)( y +1) ≤ 3(4y − 3)