5.1.3. Равенки со апсолутна вредност кои се сведуваат на линеарни равенки со една непозната

Во овој дел ќе ги разгледуваме линеарните равенки кои содржат апсолутни вредности. Сепак, пред да почнеме со решавање на овој вид равенки, прво да се потсетиме што е апсолутна вредност. Ознаката за апсолутна вредност на број е |a| . Важно е да кажеме дека цртичките за апсолутна вредност НЕ се загради и со нив не се однесувајте како со загради, затоа бидете внимателни со нив.

Постојат два начина да се дефинира апсолутна вредност. Постои геометриска дефиниција и математичка дефиниција. Ние ќе ги разгледаме и двете дифиниции:

Геометриска дефиниција

Во оваа дефиниција ние ќе размислуваме за |а| како за растојанието од а од почетокот на бројната оска. Затоа, секогаш ќе користиме позитивна вредност за растојание. Разгледајте ја следнава бројна оска.

Од ова можеме да ги добиеме следниве вредности на апсолутна вредност.

|2|=2                       |-3|=3                          |9/2|=9/2

Значи сè што треба да направиме е да ја идентификуваме точката на бројот на бројната оска и да го одредиме нејзиното растојание до нулата. Исто така потребно е да се знае дека:

|0|=0

Математичка дефиниција

|2x|={2x,  ако  2x⩾02x,  ако  2x⩾0

Можеме да дадеме и строга математичка / формула дефиниција за апсолутна вредност. Таа е:

|а|={ а ако а ≥0 

       -а ако а <0

Ова ни кажува дека е потребно само да го разгледаме знакот на а и ако е позитивен, тогаш само го изоставуваме знакот за апсолутна вредност. Ако пак знакот на а е негативен, тогаш го испуштаме знакот за апсолутна вредност, а потоа додаваме минус пред бројот.

Пример 1: Да се реши равенката

|2x|=1

Решение:

|2x|={2x,  ако  2x⩾0−2x, ако  2x<0⇔|2x|={2x,  ако  x⩾0−2x, ако  x<02x=1∩x⩾0 или −2x=1∩x<0x=12∩x⩾0 или x=−12∩x<0

Конечното решение:

x=±12

Пример 2: Да се реши равенката:

|2x-5|=9

Решение:

Во овој случај навистина нема што многу да се прави, само ја применуваме формулата, и добиваме дека:

2х-5=9   или 2х-5=-9

значи добивме две линеарни равенки со една непозната, ги решаваме одвоено:

2х=9+5   или 2х=-9+5

2х=14   или 2х=-4

х=7   или х=-2

Значи добиваме две решенија за равенката едното е х=7   а второто е  х=-2

Пример 3: Да се реши равенката:

|1-3t|=20

Решение:
Исто како претходната равенка, равенката со апсолутна вредност ја трансформираме во две линеарни равенки и ги решаваме одвоено:

1-3t=20 или 1-3t=-20

-3t=20-1 или -3t=-20-1

-3t=19 или -3t=-21      /двете равенки ги множам со /(-1)

3t=-19 или 3t=21

t=19/3или t=7

Значи добиваме две решенија за равенката едното е t=19/3 а второто t=7

Пример 4: Да се реши равенката:

|5x-10|=0

Решение:
На овој проблем ќе пристапиме од геометриска гледна точка. Апсолутната вредност претставува растојание од нулата до бројот. Има само еден број кој го има тоа својство и тој е нула единствен. Значи, мора да имаме:

5х-10=0 ⇒ 5х=10 ⇒ х=2

Значи задачата има единствено решение: х=2

Пример 5: Да се реши равенката:
|x-2|=3x+8

Решение:

Разгледуваме два случаи: 

Првиот е, кога земаме дека:  x-2≥0 
односно 2≤x ⋀ x<∞ така гледано ја добиваме равенката:

 -3x+(x-2)=8

-3x+x-2=8

x-3х=2+8

-2х=10

х=-5

Вториот е, кога земаме дека:  x-2<0

односно  -∞<x ⋀x<2 така гледано ја добиваме равенката:

 -3x-(x-2)=8

 -x+2-3x=8

 -x-3х=8-2

 -4х=6

 х=(-3/2)

Значи добиваме две решенија за равенката едното е х=-5 (кое не е решение на равенката, бидејќи не припаѓа на интервалот [2;∞) ), а второто е х=-3/2 кое е решение на равенката.

Пример 5: Да се реши равенката:

|2х-1|=|4х+9|

Решение:
Овој случај изгледа многу поразлично од кој било од претходните проблеми што ги работевме и во ваквиот случај формулата што ја користевме воопшто не работи. Меѓутоа, ако малку размислиме за ова, можеме да видиме дека сè уште можеме да  сториме нешто слично за да добиеме решение.
Двете страни на равенката содржат апсолутни вредности и така единствениот начин како двете страни се еднакви ќе биде ако двете вредности во знакот на апсолутна вредност се еднакви или еднакви, но со спротивни знаци. Или со други зборови, ги добиваме следниве случаи:

1. 2x-1≥0 и 4x+9≥0

 Добиваме дефинициона област: [1/2;∞) и потребно е да ја решиме равенката:

2х-1=4х+9

2х-4х=1+9

-2х=10

х=-5 

но решението не припаѓа на дефиниционата област, значи не е решение на равенката

2. 2x-1<0 и 4x+9≥0

 Добиваме дефинициона област: [-9/4;1/2) и потребно е да ја решиме равенката:

-(2х-1)=4х+9

-2x-4x=9-1

-6x=8

x=-(8/6)

 x=-(4/3)

Ова решение припаѓа на дефиниционата област, значи е решение на равенката

3. 2x-1≥0 и 4x+9<0

Овде дефиниционата област е празно множество:

4. 2x-1<0 и 4x+9<0

 Добиваме дефинициона област: (-∞;-9/4)

-(2х-1)=-(4х+9)

-2x+1=-4x-9

-2x+4x=-9-1

2x=-10

x=-5

Ова решение припаѓа на дефиниционата област, значи е решение на равенката.

Значи добиваме две решенија за равенката едното е х=-(4/3) а второто е  х=-5
Задачи за домашна работа:

1. a. |4x+2|=8
    б. |3x-5|=10
    в. |2x+6|=18

2. a. |3x+2|=8х
    б. |2x-7|=10х+1
    в. |x+6|=4х+6

3. a. |2x+3|=|8х-2|

    б. |2x-6|=|4х+1|
    в. |4x+2|=|3х+4|