5.2.1.Решен облик на линеарна неравенка со една непозната

Ова поглавје ќе го започнеме со прилично краток опис на основните терминологии кои ќе ги  користиме доста често при решавањето на неравенките.

Како прво да дефинираме линеарна неравенка. Нека А и В се два алгебарски изрази само со една променлива. Ако тие се сврзат со еден од знаците за неравенство <,⩽,> или ⩾, на пример А<В се добива неравенство со една променлива што се вика неравенка со една непозната.

Ако за некоја вредност на непознатата преминува во точно бројно неравенство, тогаш за таа вредност се вели дека е решение на неравенката.

Ако два алгебарски изрази А и В (кои се со по една променлива) се сврзат со еден од знаците за неравенство <,≤, > или ≥ (пример: А < В), тогаш се добива предикат со една променлива што се вика неравенка со една непозната.

Неравенките А < В и С < D се еквивалентни ако множеството решенија е еднакво со множеството решенија на другата неравенка, т.е

A < B <=> C < D

Својства на неравенките
– A < B <=> B > A
– А < B <=> A + C < B + C – C > 0 => (A < B <=> AC < BC)
– C < 0 => (A < B <=> AC > BC)

Секоја неравенка која може да се доведе во обликот ах < b, каде што а и b се реални броеви, се вика линеарна неравевка со една непозната.

8.4.2.Примени на теоремите за правоаголен триаголник при решавање на задачи за плоштина и периметар на геометриски фигури во рамнина

8.4.1. Радиуси на впишана или опишана кружница кај:квадрат, правоаголник, ромб,ромбоид, трапез и делтоид

Радиуси на впишана или опишана кружница кај квадрат

Формула: Полупречникот r на впишаната кружница е половина од страната а (на квадратот), односно

Формула: Полупречникот R на опишаната кружница е половина од дијагоналата d (на квадратот), односно

Радиуси на впишана или опишана кружница кај правоаголник

впишана нема

 

Формула: Полупречникот R на опишаната кружница е половина од дијагоналата d на правоаголник, односно

${\displaystyle R={\frac {d}{2}}={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{2}}}$

Радиуси на впишана или опишана кружница кај ромб

 

Формула: Полупречникот r на впишаната кружница е половина од висината h^[5]

${\displaystyle r={\frac {h}{2}}={\frac {a\sin(\alpha )}{2}}}$

опишана нема

Радиуси на впишана или опишана кружница кај ромбоид

Ромбоидот нема ниту впишана, ниту опишана кружница.

Радиуси на впишана или опишана кружница кај трапез

Трапезот нема ниту впишана, ниту опишана кружница.

Радиуси на впишана или опишана кружница кај делтоид

 

Секој (конвексен) делтоид има впишана кружница, т.е. постои кружница која е тангентна на сите четири страни така што секој (конвексен) делтоид е тангентен четириаголник.

Тогаш: ${\displaystyle r=(a\cos {\frac {\alpha }{2}}+b\cos {\frac {\beta }{2}}){\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}};\;\alpha =\angle aa,\;\beta =\angle bb}$.

Делтоидот нема опишана кружница

8.3.2.Тетивен и тангентен четириаголник

Тетивен четириаголник

Тангентен четириаголник

8.3.1.Плоштина и периметар на трапез и четириаголник со заемно нормални дијагонали

Плоштина и периметар на трапез

Плоштина и периметар на четириаголник со заемно нормални дијагонали

8.2.4.Три теореми (Евклидова, Питагорова и Талесова) за правоаголен триаголник

https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0

Евклидова теорема

Во книгата I (еден) од Евклидови елементи во тврдењето под број 47 стои дека:

Во правоаголните триаголници , плоштината на спротивната страната  од правиот агол е еднаква на збирот на квадратите на страните што содржат правиот агол.

Доказ:

Доказот можете да го погледнете на веб страната:
https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html

Питагорова теорема

c² = a² + b² – т.е. Плоштината на квадратот изграден од хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаква на збирот на плоштините на квадратите изградени  од неговите катети.

Доказ:
Има повеќе докази, кои можете да ги погледнете на веб страната:
https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0

Талесова теорема

Во геометријата, Талесова теорема (го добила името по Талес од Милета) Ако А,В и С се точки во кругот каде што АС е дијаметар на кругот, тогаш аголот АВС е прав агол.

Доказ:

Ја користиме претпоставката дека: збирот на аглите во триаголникот е еднаков на збирот на два прави агли и два агли кај рамнокрак триаголник се еднакви

Нека O е центар на кругот. Нека OA = OB = OC, OAB и OBC се рамнокраки триаголници, и од еднаквоста на аглите на рамнокракиот триаголник, OBC = OCB и BAO = ABO. Нека γ = BAO i δ = OBC.

2γ + γ ′ = 180°

и

2δ + δ ′ = 180°

Исто така знаеме, дека

γ ′ + δ ′ = 180°

Ако ги собереме првите две равенки, а ја одземеме третата, добиваме: 

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

што после скратување , γ ′ и δ ′, докажува дека

γ + δ = 90°

8.2.3.Радиус на опишана и впишана кружница во триаголник

Радиус на опишана кружница во триаголник

Рамностран триаголник

Полупречникот на опишана кружница околу рамностран триаголник е еднаков на ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ од висината на тој триаголник.

${\displaystyle R_{0}={\frac {2}{3}}h}$ или ${\displaystyle R_{0}={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}}$

Рамнокрак триаголник

Кај рамнокракиот триаголник центарот на опишаната кружница се наоѓа на висината која одговара на основата. Должината на полупречникот на опишаната кружница околу рамнокрак триаголник е еднаква на половина од висината на основата.

${\displaystyle h_{a}={\sqrt {b^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}}$

Правоаголен триаголник

Центар на опишаната кружница околу правоаголен триаголник е средината на хипотенузата. Должината на полупречникот на опишаната кружница е еднаква на половина од должината на хипотенузата.

${\displaystyle R_{0}={\frac {1}{2}}c}$

Радиус на впишана кружница во триаголник

Формула: Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот r на впишаната кружница е растојанието од центарот до која било страна и има должина:

8.2.2.Плоштина и периметар на рамностран, правоаголен триаголник и рамнокрак триаголник

1. Плоштина и периметар на рамностран триаголник

На следнава слика е даден еден рамностран триаголник:

2. Плоштина и периметар на правоаголен триаголник

На следнава слика е даден правоаголен триаголник со катети а и b и хипотенуза с 

Плоштина е:

Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната а е висината на основата b кај правоаголен триаголник имаме:

${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b}$

Периметарот е збир на должините на трите страни

3. Плоштина и периметар на рамнокрак триаголник

Периметарот на рамнокракиот триаголник е еднаков на: L=2b+a (збир на должините на сите страни)

Плоштината се пресметува со помош на следната формула:

${\displaystyle P={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}={\frac {b\cdot h_{b}}{2}}}$

8.2.1.Плоштина и периметар на (разностран) триаголник

8.3.Плоштина и периметар на паралелограм (ромбоид и ромб)

8.1.Поим за плоштина и периметар на рамнинска фигура

Што е дводимензионална форма?

Во геометријата, дводимензионалната форма може да се дефинира како рамна површина или фигурата која има две димензии - должина и ширина.

Дводимензионалните или 2-D формите немаат никаква дебелина и можат да се мерат само на две страни.

Што е плоштина?

Во геометријата, плоштината може да се дефинира како пространство зафатено од рамнина или површина на некој предмет.

Плоштината на фигурата е бројот на единечни квадрати што ја покриваат површината на фигурата. Плоштината се мери во квадратни единици како што се: квадратни сантиметри, квадратни дециметри, квадратни метри и квадратни километри. Во светот се користат и други единици за плоштина како што се: квадратни стапки, квадратни инчи, квадратна миља итн.

Пример:

Плоштината на квадратите подолу, се квадратни единици со страни по 1 сантиметар, ќе се мери во квадратни сантиметри (cm²).

                    Р=1 cm²            Р= 4 cm²              Р=9 cm²                 Р=16 cm²

Што е периметар?

Вкупното растојание околу една дводимензионална форма (без внатрешни „дупки“), Се нарекува периметар. Зборот периметар е со старогрчко потекло и значи „обиколна мерка“.

Пример:

Периметарот на овој правоаголник е; 3+7+3+0=20