1.1.3. Сложен исказ (тафтологија)

Забележуваме дека структурата на сложениот исказ     ..(p⇒q)∧(p⇒q).....  e изразена во вид на една конечна низа од буквите p и q и некои од знаците за операции и одреден број на загради, со кои се утврдува редоследот на извршувањето на операциите во него. Секоја таква конечна низа состевана „на дозволен начин“ се вика исказна формула.

Буквите p,q,r,… покрај тоа што означуваат некои појдовни искази, тие играат улога и на променливи – исказни променлови, бидејќи наместо нив во исказните формули можат да се постават произволни искази. Исказните променливи во исказните формули можат да примаат само две вредности:  Т, ⊥. Според тоа, областа на менување на вредностите на вистинитост на исказните променливи во исказите и исказните формули е множеството  {Т, ⊥}.

Знаците Т и ⊥ кои ни означуваат „вистинит исказ“ и „лажен исказ“ се исто симболи за искази, но за искази со постојана вредностна вистинитост, па затоа уште ги викаме и исказни константи.

Во зависност од крајната вредност што ја добиваме за сложениот исказ, разликуваме три вида исказни формули:

1.       Исказната формула Ф, за која за секој можен избор на вредности на нејзините променливи важи , се вика идентично вистинита формула или тафтологија.

2.       Исказната формула Ф, за која за секој можен избор на вредности на нејзините променливи важи ⊥, се вика идентично невистинита формула или контрадикција.

3.       Ако пак дадена исказна формула Ф, за некои избори на вредност на исказните променливи добива вредност на вистинитост Т, а за други избори – добива вредност ⊥, тогаш таа се вика неутрална исказна формула.

За нас од посебно значење се исказните формули од првиот вид  тафтологија.

Нека имаме две исказни формули А и В и нека вредностите на вистинитост на овие две формули се исти. Тоа значи, за секој можен исбор на вредности на исказните променливи во нив важи . За такви две исказни формули велиме дека се истовредносни и се викаат еквивалентни исказни формули. Еквивалентноста на исказните формули ќе ја запишуваме со знакот „ “.

Листа на тафтологии

1. ⅂⅂p ∼ p                                   Закон за двојна негација
2. p∨⅂p                                 Закон за исклучено трето
3. ⅂(p∨⅂p)                            Закон за непротивречност
4. p∧q ∼ q∧p                       Комутативен закон за конјункција
5. p∨q ∼ q∨p                       Комутативен закон за дисјункција
6. p⇔q ∼ q⇔p                    Комутативен закон за еквиваленција
7. (p∧q)∧r ∼ p∧(q∧r)         Асоцијативен закон за конјункција
8. (p∨q)∨r ∼ p∨(q∨r)         Асоцијативен закон за дисјункција
9. p∧(q∨r) ∼ (p∧q)∨(p∧r) Дистрибутивен закон на конјункција во однос на дисјункција
10. p∨(q∧r) ∼ (p∨q)∧(p∨r) Дистрибутивен закон на дисјункција во однос на конјункција
11. ⅂(p∧q) ∼ ⅂p∨⅂q                Закони на Де Морган
12. ⅂(p∨q) ∼ ⅂p∧⅂q                 Закони на Де Морган
13. p⇨q ∼ ⅂q⇨⅂p                      Закон за контрапозиција

Покрај овие логички закони, постојат и други логички закони кои често се употребуваат, и тие се следниве:

1. p∧p ∼ p
2. p∨p ∼ p         
3. p∧(p∨q) ∼ p 
4. p∨(p∧q) ∼ p
5.  (p⇔q)∼((p⇒q)∧(q⇒p))
6. (p⇒q)∼ ⅂p∨q
7. p∧⊤ ∼ p
8. p∧⊥ ∼ ⊥
9. p∨⊤ ∼ ⊤
10. p∨⊥ ∼ p
11. p⇒⊤∼ ⊤
12. ⊥⇒p∼ ⊤

Задачи:

Користејќи ги вистинитосните таблици, докажи дека следниве формули за тафтологии.

1. p⇨(q⇨p)
2. p⇨(p∨q)
3. (p∧(p⇨q))⇨q
4. (p⇨q)∨(q⇨p)
5. ⅂(⅂p∧q)⟺p∨⅂q
6. ⅂(⅂p∨q)⇔p∧⅂q
7. ((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(⅂p∨r)
8. ((p⇒(q⇒r))⇔((p∧q)⇒r)
9. ((p⇒r)∧(q⇒r))⇔((p∨q)⇒r)

Решение:

1)

p	q	(q⇨p)	p⇨(q⇨p)
⊤	⊤	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤	⊤
⊥	⊤	⊥	⊤
⊥	⊥	⊤	⊤

2)

p	q	(p∨q)	p⇨(p∨q)
⊤	⊤	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤	⊤
⊥	⊤	⊤	⊤
⊥	⊥	⊥	⊤

3)

p	q	(p⇨q)	p∧(p⇨q)	(p∧(p⇨q))⇨q
⊤	⊤	⊤	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
⊥	⊥	⊤	⊥	⊤

4)

p	q	(p⇨q)	(q⇨p)	(p⇨q) ∨(q⇨p)
⊤	⊤	⊤	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
⊥	⊥	⊤	⊤	⊤

6)

p	q	r	⅂p	(p⇨q)	(q⇒r)	((p⇒q)∧ (q⇒r))	⅂p∨r	((p⇒q)∧ (q⇒r))⇒ ( ⅂p ∨r)
⊤	⊤	⊤	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤
⊤	⊤	⊥	⊥	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
⊤	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤
⊥	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
⊥	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤
⊥	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤	⊤